[CSP-S 2021] 交通规划

题目描述

给定一个平面上 $n$ 条水平直线和 $m$ 条垂直直线，它们相交形成 $n$ 行 $m$ 列的网格，从上到下第 $r$ 条水平直线和从左到右第 $c$ 条垂直直线之间的交点称为格点 $(r, c)$。网格中任意两个水平或垂直相邻的格点之间的线段称为一条边，每条边有一个非负整数边权。

进行 $T$ 次询问，每次询问形式如下：

给出 $k$（$T$ 次询问的 $k$ 可能不同）个附加点，每个附加点位于一条从网格边缘向外出发的射线上。所有从网格边缘向外出发的射线按左上—右上—右下—左下—左上的顺时针方向依次编号为 $1$ 到 $2n+2m$。具体编号规则如下：

• 上边界：格点 $(1,c)$ 向上引出的射线编号为 $c$（$1\le c\le m$）；
• 右边界：格点 $(r,m)$ 向右引出的射线编号为 $m+r$（$1\le r\le n$）；
• 下边界：格点 $(n,c)$ 向下引出的射线编号为 $2m+n-c+1$（$1\le c\le m$），因此编号方向从右向左；
• 左边界：格点 $(r,1)$ 向左引出的射线编号为 $2m+2n-r+1$（$1\le r\le n$），因此编号方向从下向上。

角上的格点分别向两个不同方向各引出一条射线，所以同一个角格点对应两个不同编号。

对于每次询问，不同附加点所在的射线互不相同。每个附加点和最近的格点之间的线段也称为一条边，也有非负整数边权（注意，在角上的格点有可能和两个附加点同时相连）。

给定每个附加点的颜色（黑色或者白色），请你将网格内每个格点的颜色染成黑白二者之一，并使得所有两端颜色不同的边的边权和最小。请输出这个最小的边权和。

输入格式

第一行，三个正整数 $n, m, T$，分别表示水平、垂直直线的数量，以及询问次数。

接下来 $n - 1$ 行，每行 $m$ 个非负整数。其中第 $i$ 行的第 $j$ 个非负整数 ${x 1}_{i, j}$ 表示 $(i, j)$ 和 $(i + 1, j)$ 间的边权。

接下来 $n$ 行，每行 $m - 1$ 个非负整数。其中第 $i$ 行的第 $j$ 个非负整数 ${x 2}_{i, j}$ 表示 $(i, j)$ 和 $(i, j + 1)$ 间的边权。

接下来依次输入 $T$ 组询问。第 $i$ 组询问开头为一行一个正整数 $k_i$ 表示这次询问附加点的总数。接下来 $k_i$ 行每行三个非负整数。其中第 $j$ 行依次为 ${x 3}_{i, j}, p_{i, j}, t_{i, j}$ 表示第 $j$ 个附加点和相邻格点之间的边权、所在的射线编号以及附加点颜色（$0$ 为白色，$1$ 为黑色）。保证同一组询问内 $p_{i, j}$ 互不相同。

每行的多个整数由空格分隔。

输出格式

输出 $T$ 行，第 $i$ 行输出一个非负整数，表示第 $i$ 次询问染色之后两端颜色不同的边权和的最小值。

输入样例 #1

2 3 1
9 4 7
3 8
10 5
2
19 3 1
17 9 0

输出样例 #1

12

输入样例 #2

见附件中的 traffic/traffic2.in

输出样例 #2

见附件中的 traffic/traffic2.ans

输入样例 #3

见附件中的 traffic/traffic3.in

输出样例 #3

见附件中的 traffic/traffic3.ans

输入样例 #4

见附件中的 traffic/traffic4.in

输出样例 #4

见附件中的 traffic/traffic4.ans

输入样例 #5

见附件中的 traffic/traffic5.in

输出样例 #5

见附件中的 traffic/traffic5.ans

说明/提示

【样例解释 #1】

最优方案：$(1, 3), (1, 2), (2, 3)$ 为黑色；$(1, 1), (2, 1), (2, 2)$ 为白色。

【数据范围】

测试点编号	$n, m \le$	$k_i \le$
$1 \sim 2$	$5$	$50$
$3 \sim 5$	$18$	$2$
$6 \sim 8$		$50$
$9 \sim 10$	$100$	$2$
$11 \sim 12$		$50$
$13 \sim 16$	$500$	$2$
$17 \sim 20$		$50$

对于所有数据，$2 \le n, m \le 500$，$1 \le T \le 50$，$1 \le k_i \le \min \{ 2 (n + m), 50 \}$，$1 \le \sum_{i = 1}^{T} k_i \le 50$，$0 \le x \le {10}^6$，$1 \le p \le 2 (n + m)$，$t \in \{ 0, 1 \}$。

保证对于每个 $i \in [1, T]$，$p_{i, j}$ 互不相同。

【感谢 hack 数据提供】
@_Enthalpy。

来源

洛谷原题 P7916