珅泽教育的小婷老师正在组织一项队列实践，她请小泽按下面的规则完成记录。

杂耍模式用一串数字表示。第 $i$ 个数字 $h$ 表示在第 i 拍抛出的球会在第 $i+h$ 拍落下，整串模式无限循环。每拍至多接住一只球，也至多抛出一只；数字 0 表示该拍不抛球。

模式所需球数等于所有数字之和除以模式长度。有效模式必须使用整数个球，并且任何一拍不能有两只球同时落下。输入包含不超过 100 个模式，直到文件结束。对每个模式按规定输出其有效性。

输入格式

输入若干行数字串，读到文件结束。

输出格式

每行先原样输出模式和冒号，再输出以下之一：

• valid with X balls；
• invalid # of balls；
• invalid pattern。

2
33333
137
543

2: valid with 2 balls
33333: valid with 3 balls
137: invalid # of balls
543: invalid pattern

3
33333
264
441

3: valid with 3 balls
33333: valid with 3 balls
264: valid with 4 balls
441: valid with 3 balls

4
33333
391
543

4: valid with 4 balls
33333: valid with 3 balls
391: invalid # of balls
543: invalid pattern

数据范围与约定

• 每个模式长度不超过 1000
• 每个字符是 0 到 9